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| “极坐标系”教法的创新 | |||||
作者：丁连根 教学研究来源：本站原创 点击数： 更新时间：2007-3-19  |
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一、极坐标系的教学现状 1691年瑞士数学家贝努利创建了极坐标系，这种用距离和角来确定点的位置的坐标系，在航空、航海中得到了广泛的应用，教材由此而引入这一概念．然而，这种看似从实际引入的方法用于教学并不“实际”，因为对大多数学生来说都不具有航空、航海的背景知识，从而无法产生“同化”效应，最终还是教师“规定”了极坐标系． 二、设计创新情境 现代认知心理学认为，新学习的知识只有纳入原有的认知结构，并在原有的认知结构中找到联结点，才能将新知识同化，才能牢固地掌握新知识．从教材中代数和几何的教学进度可知，极坐标的学习刚好在复数学习之后，这给用复数知识引入极坐标提供了契机． （1）复数的代数形式与点的确定 学生已经明确，给定复数ｘ＋ｙｉ，我们可以迅速在复平面上找到横坐标为ｘ、纵坐标为ｙ的点与之对应． （2）复数的三角形式与点的确定 提出问题：如果给定复数ｚ＝ρ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），我们是否能根据ρ和θ在复平面上确定它所对应的点呢？（为统一起见，这里用ρ（ρ≥0）来表示复数的模，θ为辐角） 根据所给数据ρ、θ可以这样确定：以原点和ｘ轴的正半轴分别作为角θ的顶点和始边作出θ，然后在θ的终边上截取距原点为ρ的点即可，也即给定有序实数对（ρ，θ），在复平面上有惟一一点与之对应；反过来，对复平面上的任意一点都可以写出它的三角形式，从而得到有序实数对（ρ，θ）．如果不考虑终边相同的角的形式对θ的影响，那么这种对应是惟一的． 三、引入极坐标系 由此坐标平面上的每一点都可由有序实数对（ρ，θ）惟一确定，这种确定仅与点到原点的距离ρ，及以ｘ轴正半轴为始边、点与原点的连线为终边的角θ有关；而与ｙ轴及ｘ轴的负半轴毫无关系！我们不妨把ｙ轴及ｘ轴的负半轴在平面中去掉（如图所示），得到只含有ｘ轴的正半轴，且与ρ、θ有关的新坐标系．我们把它叫做极坐标系．原点Ｏ改称为极点，Ｏｘ轴称为极轴，单位长度、角度的正向同前．这样，一个完整的新坐标系就建成了． 四、教学要点说明 1．教学中按下表中的对应关系来讲授，可使学生易于实现对知识的同化． 极坐标与复数三角形式的对应关系表： 2．允许ρ取负值的规定难以理解，但通过上表中第4点不难推知，这只不过是复数三角形式的一个恒等变形而已． 复数ｚ＝ρ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）＝ρ·（ｃｏｓ（θ＋2ｋπ）＋ｉｓｉｎ（θ＋2ｋπ））＝－ρ［ｃｏｓ（θ＋（2ｋ＋1）π）＋ｉｓｉｎ（θ＋（2ｋ＋1）π）］，因此点Ｚ的所有极坐标可写为（ρ，θ＋2ｋπ）或（－ρ，θ＋（2ｋ＋1）π）（ｋ∈Ｚ）． 3．后一小节“极坐标与直角坐标的互化”只不过是复数三角形式与代数形式互化的改名而已． 4．小结：复数的代数形式与直角坐标的对应关系，为复数解决直角坐标问题提供了基础，那么复数的三角形式与极坐标之间的对应，则为用复数处理极坐标问题提供了广阔的空间．有兴趣的同仁可继续深入探讨． 五、点滴感想 |
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