“是否存在型”问题的一般解法-姜堰二中

“是否存在型”问题的一般解法

作者：金骏来源：本站原创发布时间：2006年07月01日

　1　利用特殊函数或特殊值

　对于抽象函数的有关证明，比如单调性、周期性等的证明，可借助符合条件的一个具体函数来寻求解题途径或论证的结果或者用该具体函数来检验结论是否正确．

　例1　已知函数ｆ（ｘ）定义域为Ｒ，对于任意ｘ、ｙ∈Ｒ，恒有ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝2ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），且有正数ｃ，使ｆ（ｃ／2）＝0，试问是否存在Ｔ（Ｔ≠0）使得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）．

　分析：由已知ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝2ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）联想到和差化积公式中的余弦公式，于是找到一个符合条件的一个函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈Ｒ），由于ｃｏｓπ／2＝0．所以π相当于题设中的正数ｃ．另外，我们知道余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈Ｒ）是以2π为周期的周期函数，即2π相当于题中的T，而2π＝2×π．则T可能为2ｃ．于是可设法证明ｆ（ｘ＋2ｃ）＝ｆ（ｘ）．

　解：由ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝2ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）及ｆ（ｃ／2）＝0，得

　ｆ（ｘ＋ｃ）＋ｆ（ｘ）＝2ｆ（ｘ＋（ｃ／2））ｆ（ｃ／2）＝0，

　ｆ（ｘ＋2ｃ）＋ｆ（ｘ＋ｃ）＝2ｆ（ｘ＋（3ｃ／2））ｆ（ｃ／2）＝0，

　所以ｆ（ｘ＋ｃ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋2ｃ）＋ｆ（ｘ＋ｃ），ｆ（ｘ＋2ｃ）＝ｆ（ｘ），

　于是存在数Ｔ＝2ｃ使得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）成立．

　2　待定系数法

　待定系数是解答恒等式时常用的方法之一，通过恒等式，比较两边的相应项系数，可确定出所求的未知数的值．

　例2　在公差不为零的等差数列｛ａ_ｎ｝和等比数列｛ｂ_ｎ｝中，已知ａ_１＝ｂ_１＝1，ａ_２＝ｂ_２，ａ_８＝ｂ_３．

　（1）求ａ_ｎ、ｂ_ｎ的表达式；（2）是否存在常数ａ、ｂ，使对一切ｎ∈Ｎ恒有ａ_ｎ＝ｌｏｇ_ａｂ_ｎ＋ｂ成立？

解：（1）设公差为ｄ，公比为ｑ，则有		1＋ｄ＝ｑ，
		1＋7ｄ＝ｑ²，

　（1＋ｄ）²＝1＋7ｄ，∴ｄ＝5，ｑ＝6．

　于是，ａ_ｎ＝ａ_１＋（ｎ－1）ｄ＝5（ｎ－1）＋1，

　ｂ_ｎ＝ｂ_１ｑ^ｎ－¹＝6^ｎ－¹．

　（2）由ａ_ｎ＝ｌｏｇ_ａｂ_ｎ＋ｂ得5（ｎ－1）＋1＝ｌｏｇ_ａ6^ｎ－¹＋ｂ＝（ｎ－1）ｌｏｇ_ａ6＋ｂ．

　比较系数，得ｌｏｇ_ａ6＝5，ｂ＝1，∴ａ＝，ｂ＝1．

　3　构造函数（数列），利用其单调性求解

　对于判断一类不等式是否恒成立的问题，可构造函数或数列，利用其单调性，求出不等式一端的最大值或最小值．将原不等式转化为一个具体不等式求解．

　例3　是否存在正数ａ，使得对于大于ａ的所有ｘ恒有ａ＋（1／ａ）＜ｘ＋（1／ｘ）成立?若存在，求出ａ的最小值．

　分析：由不等式两边的结构，可构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋（1／ｘ）．

　则问题转化为求函数ｆ（ｘ）在ｘ＞0时的单调增区间，该区间左端点的对应值即为ａ的最小值．

　解：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋（1／ｘ）（ｘ＞0），则由ｘ＞0，得ｘ＋（1／ｘ）≥2，当且仅当ｘ＝1／ｘ，即ｘ＝1时取最小值．

　于是函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋（1／ｘ）在［1，＋∞）上为增函数．

　从而所求ａ的最小值为1．

　另解：设0＜ａ≤ｘ_１＜ｘ_２，则ｆ（ｘ_１）－ｆ（ｘ_２）＝ｘ_１＋（1／ｘ_１）－（ｘ_２＋（1／ｘ_２））＝（ｘ_１－ｘ_２）＋（（1／ｘ_１）－（1／ｘ_２））=（ｘ_１－ｘ_２）＋（（ｘ_２－ｘ_１）／ｘ_１ｘ_２）=（ｘ_１－ｘ_２）·（（ｘ_１ｘ_２－1）／ｘ_１ｘ_２），