一、教学目的

“锥体的体积”是《立体几何》（全一册）“多面体体积”这一节中非常重要的内容．是推证公式时所用的割补法思想为今后计算较复杂的几何体的体积奠定了基础．因此我认为，通过这节课的教学，应使学生理解三棱锥体积公式的推导，掌握三棱锥体积公式并能运用公式进行计算或论证，培养学生动手、动脑、发现问题、分析问题、解决问题的能力，同时渗透转化、类比等数学思想方法．

二、教学内容

这节课的教学内容是课本中的三个定理，例题、练习题和习题，但对定理的证明在顺序上有所变化，这是因为直接研究等底面积和等高的任意两个锥体体积之间的关系比较突然，前后知识之间没有联系，把它放在推证三棱锥体积公式时进行论证非常自然，学生也易于接受．

我认为本节课的教学重点是：锥体的体积公式，特别是三棱锥体积公式及其应用．这是因为：

1．《教学大纲》上明确规定，学生要掌握锥体体积计算公式．

2．三棱锥体积公式Ｖ_三棱锥＝（1／3）Ｓｈ反映了底面积Ｓ、高ｈ、体积Ｖ三者之间的关系，根据公式可以由底面积和高求体积，也可以由底面积和体积求高．棱锥的高也可看作顶点到底面所在平面的距离，这就为我们提供了求点到平面距离的新方法，下节课专门研究．

3．锥体体积公式又是推导台体体积公式的基础．

教学难点：三棱锥体积公式的推证．

三、教学方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的是直观演示和引导发现法．发现法属于启发式教学，它符合辩证唯物主义内因和外因相互作用的观点，符合教学论中教师的主导作用与学生的主体作用相统一的原则．引导发现法的关键是通过教师的引导、启发，充分调动学生的学习积极性和主动性．

四、学法指导

现代教学论认为，教师不仅要教学生“学会”，而且更要教学生“会学”．

通过这节课的教学使学生“会设疑”，“会尝试”．“学习有得必先有疑”，只有产生疑问，学习才有动力．在教学过程中，学生首先要对“如果知道了锥体的底面积和高能否求出锥体的体积?”“分割后的三个小三棱锥的体积相等吗?”“能否把求三棱锥体积的结论推广到任何棱锥呢?”这些问题产生疑问，然后才能积极思考．在提出问题后要鼓励学生通过探索、尝试，确定解决问题的办法．通过探索平面几何里两个面积问题的求法，类比出求三棱锥体积的方法——割补法．引导学生大胆猜想出Ｖ_三棱锥＝（1／3）Ｖ_三棱柱，然后论证猜想是正确的．公式推导出来后提出两个问题让学生独立解决、亲自尝试，这样学生的思维能力得到了培养．

五、教学过程

首先复习柱体的体积公式Ｖ_柱体＝Ｓｈ，并让同学们回忆这个公式是怎样推导出来的，复习了祖暅原理，也为证明“等底面积等高的两个锥体的体积相等”做了准备．紧接着提出问题：如果知道了锥体的底面积和高，能否求出锥体的体积?为了解决这个问题，先来探求三棱锥的体积公式．因为普遍性寓于特殊性之中，从简单的情形入手，容易找到突破口，也符合学生的认知规律．

为了引导学生利用割补法将三棱柱分成三棱锥，首先提出了平面几何里两个求面积的问题，学生通过解决这两个问题，唤起了对割补思想的记忆，启发了学生的思维，通过联想类比，学生已感悟到探求三棱锥体积也用割补法．那么是先补后分还是先分后合呢?引导学生作如下类比：三角形是边数最少的多边形，探求其面积时采用的方法是先补后分，而对棱锥，按底面边数分类，三棱锥可谓是“最简单”的棱锥，所以再分已显得不合适，故应先补后分．那么如何补?补成怎样的几何体呢?注意到前面已学过的柱体的体积，我们希望补成的几何体和前面学过的知识有所联系，于是类比地自然想到把三棱锥补成三棱柱．再联想到求三角形面积时对补成平行四边形后又分成两个等面积的三角形，类比地求三棱锥体积时应把补成的三棱柱分割成三个等体积的三棱锥．那么三棱柱可分成几个三棱锥，如何画出这些棱锥呢?这个问题对学生来说比较困难．这时把用萝卜做成的三棱柱切成三个三棱锥，让学生认真观察，帮助理解．让学生猜想三棱柱体积公式Ｖ_三棱锥＝（1／3）Ｖ_三棱柱．这个猜想是否正确，就需要严格的证明．从感性认识到理性认识，这是质的飞跃，以培养学生严谨的科学态度．

下面分层剖析，论证公式：

1．要证明Ｖ_三棱锥＝（1／3）Ｖ_三棱柱，只需证明这三个三棱锥体积相等，这是第一次转化，引导学生观察图（课本中图2-63）中三个三棱锥有没有相等的底面积和高，学生认真观察，发现三棱锥（1）和（2）的底面△Ａ′ＡＢ和△Ａ′Ｂ′Ｂ全等，从而面积相等，且面Ａ′ＡＢ和面Ａ′Ｂ′Ｂ上的高也相等；三棱锥（2）和（3）的底面△Ｂ′ＢＣ和△Ｂ′Ｃ′Ｃ全等，从而面积相等，且这两个面上的高也相等．

2．现在问题转化为证明具有相等底面积和相等高的两个三棱锥的体积相等，这是第二次转化，启发学生类比柱体体积公式的推导方法并利用祖暅原理和平行于棱锥底面的性质加以证明．上述性质对一般棱锥成立吗?如何证明呢?引导学生阅读课文Ｐ．99，培养了自学能力，并得到定理：等底面积等高的两个锥体的体积相等．

3．有了这个定理，引导学生来证明三棱锥体积公式Ｖ_三棱锥＝（1／3）Ｓｈ.学生思考，老师归纳出证明步骤：

①先把三棱锥补成一个三棱柱；

②再把这个三棱柱分割成三个三棱锥；

③证明三个三棱锥体积相等．

将三棱锥体积公式进行推广，立即得到锥体体积公式Ｖ_三棱锥＝（1／3）Ｓｈ（Ｓ为底面积，ｈ为高）．

归纳小结中首先强调证明锥体体积的思想方法：利用柱体体积通过割补求出锥体体积，这是将未知向已知转化，也是解决数学问题的常用方法；从特殊的三棱锥推出一般棱锥的体积公式，这是唯物辩证法中从特殊到一般规律在数学中的体现．其次强调计算三棱锥的体积，要灵活地选择底面和高．